注釈
当ページは tutorials/finance/01_portfolio_optimization.ipynb から生成されました。
IBM Quantum lab でインタラクティブに実行します。
ポートフォリオの最適化¶
はじめに¶
このチュートリアルでは、 \(n\) アセットの次の平均分散ポートフォリオ最適化問題を解決する方法を示します。
\(\begin{aligned} \min_{x \in \{0, 1\}^n} q x^T \Sigma x - \mu^T x\\ \text{subject to: } 1^T x = B \end{aligned}\)
ここで、次の表記を使用します。
\(x \in \{0, 1\}^n\) は、その資産を選択すべきか (\(x[i] = 1\))、選択しないべきか (\(x[i] = 0\))を示すバイナリ判定変数のベクトルを示します。
\(\mu \in \mathbb{R}^n\) はアセットの期待されるリターンを定義します。
\(\Sigma \in \mathbb{R}^{n \times n}\) は、アセット間の共分散を指定します
\(q > 0\) は、意思決定者のリスク選好を制御します。
\(B\) は予算、つまり \(n\) の中から選択するアセットの数を表します。
すべての資産は同じ価格 ( 1に正規化 ) を持ち、最大予算 \(B\) を使用する必要があります。すなわち、 \(B\) 資産を正確に選択する必要があります。
\(1^T x = B\) の等価制約は、ペナルティー項 \((1^T x - B)^2\) にマップされます。これはパラメータによって縮小され、目的関数から減算されます。 結果として問題は、基底状態が最適解に対応するハミルトニアンにマッピングすることができます。 このノートブックでは、特定のパラメータセットに最適なソリューションを見つけるために、Variational Quantum Eigensolver (VQE) または Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) を使用する方法について説明します。
この問題に対する実際の量子ハードウェアに関する実験については、例えば以下の論文で報告しています。Improving Variational Quantum Optimization using CVaR. Barkoutsos et al. 2019.
[1]:
from qiskit import Aer
from qiskit.circuit.library import TwoLocal
from qiskit.aqua import QuantumInstance
from qiskit.finance.applications.ising import portfolio
from qiskit.optimization.applications.ising.common import sample_most_likely
from qiskit.finance.data_providers import RandomDataProvider
from qiskit.aqua.algorithms import VQE, QAOA, NumPyMinimumEigensolver
from qiskit.aqua.components.optimizers import COBYLA
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import datetime
[Optional] 実デバイスで実験を実行するためのトークンをセットアップする¶
実デバイスで実験を実行したい場合は、まずアカウントを設定する必要があります。
注意: トークンをまだ保存していない場合は、最初に IBMQ.save_account('MY_API_TOKEN') を使用して保存してください。
問題例を定義¶
ここで、Operatorインスタンスがこのハミルトニアン用に作成されます。 ここでのパウリ項は、ポートフォリオ問題から導かれたイジング・ハミルトニアンからのものです。このノートブックではランダムなポートフォリオ問題を使用します。Loading and Processing Stock-Market Time-Series Data で示されるように、実際の財務データに容易に適用することができます。
[2]:
# set number of assets (= number of qubits)
num_assets = 4
# Generate expected return and covariance matrix from (random) time-series
stocks = [("TICKER%s" % i) for i in range(num_assets)]
data = RandomDataProvider(tickers=stocks,
start=datetime.datetime(2016,1,1),
end=datetime.datetime(2016,1,30))
data.run()
mu = data.get_period_return_mean_vector()
sigma = data.get_period_return_covariance_matrix()
[3]:
# plot sigma
plt.imshow(sigma, interpolation='nearest')
plt.show()
[4]:
q = 0.5 # set risk factor
budget = num_assets // 2 # set budget
penalty = num_assets # set parameter to scale the budget penalty term
qubitOp, offset = portfolio.get_operator(mu, sigma, q, budget, penalty)
整ったフォーマットで出力するためのユーティリティー・メソッドをいくつか定義します。
[5]:
def index_to_selection(i, num_assets):
s = "{0:b}".format(i).rjust(num_assets)
x = np.array([1 if s[i]=='1' else 0 for i in reversed(range(num_assets))])
return x
def print_result(result):
selection = sample_most_likely(result.eigenstate)
value = portfolio.portfolio_value(selection, mu, sigma, q, budget, penalty)
print('Optimal: selection {}, value {:.4f}'.format(selection, value))
eigenvector = result.eigenstate if isinstance(result.eigenstate, np.ndarray) else result.eigenstate.to_matrix()
probabilities = np.abs(eigenvector)**2
i_sorted = reversed(np.argsort(probabilities))
print('\n----------------- Full result ---------------------')
print('selection\tvalue\t\tprobability')
print('---------------------------------------------------')
for i in i_sorted:
x = index_to_selection(i, num_assets)
value = portfolio.portfolio_value(x, mu, sigma, q, budget, penalty)
probability = probabilities[i]
print('%10s\t%.4f\t\t%.4f' %(x, value, probability))
NumPyMinimumEigensolver (古典の参照として)¶
まず最初に古典的な手法で問題を解いてみます。
上記で構築したOperatorを、どのように作成されたかの詳細に関係なく使用できるようになりました。 NumPyMinimumEigensolver のアルゴリズムを設定することで、古典的な参照を行うことができます。 問題は 『ising』 に設定されています。バックエンドは必要ありません。これは古典的な計算で、量子計算を使用していないためです。 結果は辞書として返されます。
[6]:
exact_eigensolver = NumPyMinimumEigensolver(qubitOp)
result = exact_eigensolver.run()
print_result(result)
Optimal: selection [0 1 0 1], value -0.0005
----------------- Full result ---------------------
selection value probability
---------------------------------------------------
[0 1 0 1] -0.0005 1.0000
[1 1 1 1] 16.0040 0.0000
[0 1 1 1] 4.0013 0.0000
[1 0 1 1] 4.0052 0.0000
[0 0 1 1] 0.0025 0.0000
[1 1 0 1] 4.0023 0.0000
[1 0 0 1] 0.0034 0.0000
[0 0 0 1] 4.0007 0.0000
[1 1 1 0] 4.0033 0.0000
[0 1 1 0] 0.0007 0.0000
[1 0 1 0] 0.0045 0.0000
[0 0 1 0] 4.0018 0.0000
[1 1 0 0] 0.0016 0.0000
[0 1 0 0] 3.9988 0.0000
[1 0 0 0] 4.0027 0.0000
[0 0 0 0] 16.0000 0.0000
VQE を使用したソリューション¶
これで、 Variational Quantum Eigensolver (VQE) を使用して問題を解決できるようになりました。 使用する最適化プログラムおよび変分フォームを指定します。
注: バックエンドの名前を指定することで、異なるバックエンドに切り替えることができます。
[7]:
backend = Aer.get_backend('statevector_simulator')
seed = 50
cobyla = COBYLA()
cobyla.set_options(maxiter=500)
ry = TwoLocal(qubitOp.num_qubits, 'ry', 'cz', reps=3, entanglement='full')
vqe = VQE(qubitOp, ry, cobyla)
vqe.random_seed = seed
quantum_instance = QuantumInstance(backend=backend, seed_simulator=seed, seed_transpiler=seed)
result = vqe.run(quantum_instance)
print_result(result)
Optimal: selection [0. 0. 1. 1.], value 0.0025
----------------- Full result ---------------------
selection value probability
---------------------------------------------------
[0 0 1 1] 0.0025 0.7519
[0 1 1 0] 0.0007 0.2480
[1 1 0 1] 4.0023 0.0000
[1 1 0 0] 0.0016 0.0000
[1 0 0 1] 0.0034 0.0000
[0 1 0 1] -0.0005 0.0000
[1 1 1 0] 4.0033 0.0000
[1 0 0 0] 4.0027 0.0000
[1 0 1 1] 4.0052 0.0000
[1 0 1 0] 0.0045 0.0000
[0 0 1 0] 4.0018 0.0000
[0 1 0 0] 3.9988 0.0000
[0 0 0 1] 4.0007 0.0000
[0 1 1 1] 4.0013 0.0000
[0 0 0 0] 16.0000 0.0000
[1 1 1 1] 16.0040 0.0000
QAOA を使用したソリューション¶
また、Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) を使用した結果をも示します。 これは別の変分アルゴリズムであり、問題に応じて作成される内部の変分フォームを使用します。
[8]:
backend = Aer.get_backend('statevector_simulator')
seed = 50
cobyla = COBYLA()
cobyla.set_options(maxiter=250)
qaoa = QAOA(qubitOp, cobyla, 3)
qaoa.random_seed = seed
quantum_instance = QuantumInstance(backend=backend, seed_simulator=seed, seed_transpiler=seed)
result = qaoa.run(quantum_instance)
print_result(result)
Optimal: selection [0. 1. 0. 1.], value -0.0005
----------------- Full result ---------------------
selection value probability
---------------------------------------------------
[0 1 0 1] -0.0005 0.1673
[0 1 1 0] 0.0007 0.1670
[1 1 0 0] 0.0016 0.1668
[0 0 1 1] 0.0025 0.1666
[1 0 0 1] 0.0034 0.1663
[1 0 1 0] 0.0045 0.1661
[1 1 1 1] 16.0040 0.0000
[0 0 0 0] 16.0000 0.0000
[0 1 1 1] 4.0013 0.0000
[0 1 0 0] 3.9988 0.0000
[1 1 0 1] 4.0023 0.0000
[1 0 1 1] 4.0052 0.0000
[1 0 0 0] 4.0027 0.0000
[1 1 1 0] 4.0033 0.0000
[0 0 0 1] 4.0007 0.0000
[0 0 1 0] 4.0018 0.0000
[9]:
import qiskit.tools.jupyter
%qiskit_version_table
%qiskit_copyright
Version Information
| Qiskit Software | Version |
|---|---|
| Qiskit | 0.19.1 |
| Terra | 0.14.1 |
| Aer | 0.5.1 |
| Ignis | 0.3.0 |
| Aqua | 0.7.0 |
| IBM Q Provider | 0.7.0 |
| System information | |
| Python | 3.7.4 (default, Aug 13 2019, 15:17:50) [Clang 4.0.1 (tags/RELEASE_401/final)] |
| OS | Darwin |
| CPUs | 6 |
| Memory (Gb) | 16.0 |
| Fri Jul 17 17:36:55 2020 CEST | |
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