Nota

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Precificando ativos de renda fixa

Introdução

Buscamos precificar um ativo de renda fixa sabendo as distribuições, que descrevem as taxas de juros relevantes. Os fluxos de caixa \(c_t\) do ativo e as datas em que ocorrem são conhecidos. O valor total \(V\) do ativo é, assim, o valor esperado de:

\[V = \sum_{t=1}^T \frac{c_t}{(1+r_t)^t}\]

Cada fluxo de caixa é tratado como um título de cupom zero, com uma taxa de juros correspondente \(r_t\) que depende de seu vencimento. O usuário deve especificar a distribuição, que modela a incerteza em cada \(r_t\) (possivelmente correlacionadas), assim como o número de qubits, que deseja utilizar para amostrar cada distribuição. Neste exemplo, expandimos o valor do ativo para primeira ordem nas taxas de juros \(r_t\). Isto corresponde a estudar o ativo, em termos de sua duração. A aproximação da função objetivo segue o seguinte artigo: Quantum Risk Analysis. Woerner, Egger. 2018.

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
import numpy as np
from qiskit import Aer, QuantumCircuit
from qiskit.aqua.algorithms import IterativeAmplitudeEstimation
from qiskit.circuit.library import NormalDistribution

backend = Aer.get_backend('statevector_simulator')

Modelo de incerteza

Construímos uma fábrica de circuitos para carregar uma distribuição aleatória normal multivariada em \(d\) dimensões em um estado quântico. A distribuição é truncada para uma determinada caixa \(\otimes_{i=1}^d [low_i, high_i]\) e discretizada usando \(2^{n_i}\) pontos de grade, onde \(n_i\) denota o número de qubits utilizados para a dimensão \(i = 1,\ldots, d\). O operador unitário correspondente à fábrica de circuitos implementa o seguinte:

\[\big|0\rangle_{n_1}\ldots\big|0\rangle_{n_d} \mapsto \big|\psi\rangle = \sum_{i_1=0}^{2^n_-1}\ldots\sum_{i_d=0}^{2^n_-1} \sqrt{p_{i_1,...,i_d}}\big|i_1\rangle_{n_1}\ldots\big|i_d\rangle_{n_d},\]

onde \(p_{i_1, ..., i_d}\) denotam as probabilidades correspondentes à distribuição truncada e discretizada e onde \(i_j\) é mapeado para o intervalo correto \([low_j, high_j]\) utilizando o mapeamento afim:

\[\{0, \ldots, 2^{n_{j}}-1\} \ni i_j \mapsto \frac{high_j - low_j}{2^{n_j} - 1} * i_j + low_j \in [low_j, high_j].\]

Além do modelo de incerteza, podemos também aplicar um mapeamento afim, por exemplo, resultante de uma análise de componentes principais. As taxas de juros utilizadas são então dadas por:

\[\vec{r} = A * \vec{x} + b,\]

onde \(\vec{x} \in \otimes_{i=1}^d [low_i, high_i]\) segue a distribuição aleatória dada.

# can be used in case a principal component analysis has been done to derive the uncertainty model, ignored in this example.
A = np.eye(2)
b = np.zeros(2)

# specify the number of qubits that are used to represent the different dimenions of the uncertainty model
num_qubits = [2, 2]

# specify the lower and upper bounds for the different dimension
low = [0, 0]
high = [0.12, 0.24]
mu = [0.12, 0.24]
sigma = 0.01*np.eye(2)

# construct corresponding distribution
bounds = list(zip(low, high))
u = NormalDistribution(num_qubits, mu, sigma, bounds)

# plot contour of probability density function
x = np.linspace(low[0], high[0], 2**num_qubits[0])
y = np.linspace(low[1], high[1], 2**num_qubits[1])
z = u.probabilities.reshape(2**num_qubits[0], 2**num_qubits[1])
plt.contourf(x, y, z)
plt.xticks(x, size=15)
plt.yticks(y, size=15)
plt.grid()
plt.xlabel('$r_1$ (%)', size=15)
plt.ylabel('$r_2$ (%)', size=15)
plt.colorbar()
plt.show()

Fluxo de caixa, função payoff e valor esperado exato

A seguir, definimos o fluxo de caixa por período, a função payoff resultante e avaliamos o valor esperado exato.

Para a função de payoff, usamos primeiro a aproximação de primeira ordem e em seguida, aplicamos a mesma técnica de aproximação para a parte linear da função de pagamento da Opção de Chamada Europeia.

# specify cash flow
cf = [1.0, 2.0]
periods = range(1, len(cf) + 1)

# plot cash flow
plt.bar(periods, cf)
plt.xticks(periods, size=15)
plt.yticks(size=15)
plt.grid()
plt.xlabel('periods', size=15)
plt.ylabel('cashflow ($)', size=15)
plt.show()

# estimate real value
cnt = 0
exact_value = 0.0
for x1 in np.linspace(low[0], high[0], pow(2, num_qubits[0])):
    for x2 in np.linspace(low[1], high[1], pow(2, num_qubits[1])):
        prob = u.probabilities[cnt]
        for t in range(len(cf)):
            # evaluate linear approximation of real value w.r.t. interest rates
            exact_value += prob * (cf[t]/pow(1 + b[t], t+1) - (t+1)*cf[t]*np.dot(A[:, t], np.asarray([x1, x2]))/pow(1 + b[t], t+2))
        cnt += 1
print('Exact value:    \t%.4f' % exact_value)

Exact value:            2.1942

# specify approximation factor
c_approx = 0.125

# get fixed income circuit appfactory
from qiskit.finance.applications import FixedIncomeExpectedValue
fixed_income = FixedIncomeExpectedValue(num_qubits, A, b, cf, c_approx, bounds)

fixed_income.draw()

q_0: ───────────────────■──────────────────────────────────────────────────
                        │
q_1: ───────────────────┼─────────────■────────────────────────────────────
                        │             │
q_2: ───────────────────┼─────────────┼─────────────■──────────────────────
                        │             │             │
q_3: ───────────────────┼─────────────┼─────────────┼─────────────■────────
     ┌───────────┐┌─────┴──────┐┌─────┴──────┐┌─────┴─────┐┌──────┴───────┐
q_4: ┤ RY(9π/16) ├┤ RY(-π/216) ├┤ RY(-π/108) ├┤ RY(-π/27) ├┤ RY(-0.23271) ├
     └───────────┘└────────────┘└────────────┘└───────────┘└──────────────┘

state_preparation = QuantumCircuit(fixed_income.num_qubits)

# load probability distribution
state_preparation.append(u, range(u.num_qubits))

# apply function
state_preparation.append(fixed_income, range(fixed_income.num_qubits))

state_preparation.draw()

     ┌───────┐┌────┐
q_0: ┤0      ├┤0   ├
     │       ││    │
q_1: ┤1      ├┤1   ├
     │  P(X) ││    │
q_2: ┤2      ├┤2 F ├
     │       ││    │
q_3: ┤3      ├┤3   ├
     └───────┘│    │
q_4: ─────────┤4   ├
              └────┘

# set target precision and confidence level
epsilon = 0.01
alpha = 0.05

# set objective qubit
objective = u.num_qubits

# construct amplitude estimation
ae = IterativeAmplitudeEstimation(epsilon=epsilon, alpha=alpha,
                                  state_preparation=state_preparation,
                                  objective_qubits=[objective],
                                  post_processing=fixed_income.post_processing)

result = ae.run(quantum_instance=Aer.get_backend('qasm_simulator'), shots=100)

conf_int = np.array(result['confidence_interval'])
print('Exact value:        \t%.4f' % exact_value)
print('Estimated value:    \t%.4f' % (result['estimation']))
print('Confidence interval:\t[%.4f, %.4f]' % tuple(conf_int))

Exact value:            2.1942
Estimated value:        2.3404
Confidence interval:    [2.3094, 2.3714]

import qiskit.tools.jupyter
%qiskit_version_table
%qiskit_copyright

Version Information

Qiskit Software	Version
Qiskit	0.23.3
Terra	0.16.2
Aer	0.7.3
Ignis	0.5.1
Aqua	0.8.1
IBM Q Provider	0.11.1
System information
Python	3.8.5 (default, Sep 4 2020, 07:30:14) [GCC 7.3.0]
OS	Linux
CPUs	2
Memory (Gb)	3.736370086669922
Thu Jan 28 13:33:57 2021 IST

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