Note

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** Tarification Options d’Achat Européenne * *

Introduction

Supposons une option de vente européenne avec le prix d’exercice (strike) \(K\) et un actif sous-jacent dont le prix spot à l’échéance \(S_T\) suit une distribution aléatoire donnée. La fonction de paiement correspondante est définie comme :

\[\max\{K - S_T, 0\}\]

Dans ce qui suit, un algorithme quantique basé sur l’estimation d’amplitude est utilisé pour estimer le gain attendu, c’est-à-dire le juste prix avant remise, pour l’option :

\[\mathbb{E}\left[ \max\{K - S_T, 0\} \right]\]

ainsi que le :math: »Delta » correspondant, c’est-à-dire le dérivé du prix de l’option par rapport au prix au comptant, défini comme suit:

\[\Delta = -\mathbb{P}\left[S_T \leq K\right]\]

L’approximation de la fonction objectif et une introduction générale à la tarification des options et à l’analyse des risques sur les ordinateurs quantiques sont données dans les articles suivants :

• Quantum Risk Analysis. Woerner, Egger. 2018.

• La tarification des options à l’aide des ordinateurs quantiques. Stamatopoulos et al. 2019.

import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
import numpy as np

from qiskit import Aer
from qiskit.aqua.algorithms import IterativeAmplitudeEstimation
from qiskit.circuit.library import LogNormalDistribution, LinearAmplitudeFunction

Modèle d’Incertitude

Nous construisons un circuit afin de représenter une distribution aléatoire en log-normale dans un état quantique. La distribution est limitée à l’intervalle \([\text{low}, \text{high}]\) et rendue discrète en utilisant \(2^n\) points, où \(n\) correspond au nombre de qubits utilisés. L’opérateur unitaire correspondant à ce circuit respecte la relation suivante :

\[\big|0\rangle_{n} \mapsto \big|\psi\rangle_{n} = \sum_{i=0}^{2^n-1} \sqrt{p_i}\big|i\rangle_{n},\]

où les \(p_i\) représentent les probabilités de la distribution tronquée et discrétisée et où les \(i\) sont mappés sur l’intervalle approprié en utilisant la carte affine suivante :

\[\{0, \ldots, 2^n-1\} \ni i \mapsto \frac{\text{high} - \text{low}}{2^n - 1} * i + \text{low} \in [\text{low}, \text{high}].\]

# number of qubits to represent the uncertainty
num_uncertainty_qubits = 3

# parameters for considered random distribution
S = 2.0 # initial spot price
vol = 0.4 # volatility of 40%
r = 0.05 # annual interest rate of 4%
T = 40 / 365 # 40 days to maturity

# resulting parameters for log-normal distribution
mu = ((r - 0.5 * vol**2) * T + np.log(S))
sigma = vol * np.sqrt(T)
mean = np.exp(mu + sigma**2/2)
variance = (np.exp(sigma**2) - 1) * np.exp(2*mu + sigma**2)
stddev = np.sqrt(variance)

# lowest and highest value considered for the spot price; in between, an equidistant discretization is considered.
low  = np.maximum(0, mean - 3*stddev)
high = mean + 3*stddev

# construct A operator for QAE for the payoff function by
# composing the uncertainty model and the objective
uncertainty_model = LogNormalDistribution(num_uncertainty_qubits, mu=mu, sigma=sigma**2, bounds=(low, high))

# plot probability distribution
x = uncertainty_model.values
y = uncertainty_model.probabilities
plt.bar(x, y, width=0.2)
plt.xticks(x, size=15, rotation=90)
plt.yticks(size=15)
plt.grid()
plt.xlabel('Spot Price at Maturity $S_T$ (\$)', size=15)
plt.ylabel('Probability ($\%$)', size=15)
plt.show()

Fonction de Paiement

La fonction de paiement diminue linéairement avec une augmentation du prix spot à l’échéance de \(S_T\) jusqu’à ce qu’elle atteigne zéro pour un prix spot égal au prix strike \(K\), Il reste constant à zéro pour des prix spot plus élevés. L’implémentation utilise un comparateur, qui retourne un qubit auxiliaire de \(\big|0\rangle\) à \(\big|1\rangle\) si \(S_T \leq K\), et cet auxiliaire est utilisé pour contrôler la partie linéaire de la fonction de paiement.

La partie linéaire proprement dite suit l’approximation ci-dessous. On exploite le fait que \(\sin^2(y + \pi/4) \approx y + 1/2\) lorsque \(|y|\) est petit. Ainsi, pour un facteur d’échelle d’approximation \(c_\text{approx} \in [0, 1]\) et \(x \in [0, 1]\) on considère

\[\sin^2( \pi/2 * c_\text{approx} * ( x - 1/2 ) + \pi/4) \approx \pi/2 * c_\text{approx} * ( x - 1/2 ) + 1/2\]

pour de petites valeurs de \(c_\text{approx}\).

Nous pouvons facilement construire un opérateur qui agit ainsi

\[\big|x\rangle \big|0\rangle \mapsto \big|x\rangle \left( \cos(a*x+b) \big|0\rangle + \sin(a*x+b) \big|1\rangle \right),\]

en utilisant des rotation Y-contrôlées.

Il est aussi intéressant de connaitre la probabilité de mesurer \(\big|1\rangle\) sur le dernier qubit, correspondant à \(\sin^2(a*x+b)\). En complément de l’approximation précédente, nous pouvons alors estimer la valeurs des intérêts. Plus \(c_\text{approx}\) est choisi petit, meilleure est l’approximation. Cependant, puisque nous estimons une propriété dépendant de \(c_\text{approx}\), le nombre de qubits d’évaluation \(m\) doit être choisi en conséquence.

Pour plus de détails sur l’approximation, nous nous référons à: Quantum Risk Analysis. Woerner, Egger. 2018.

# set the strike price (should be within the low and the high value of the uncertainty)
strike_price = 2.126

# set the approximation scaling for the payoff function
rescaling_factor = 0.25

# setup piecewise linear objective fcuntion
breakpoints = [low, strike_price]
slopes = [-1, 0]
offsets = [strike_price - low, 0]
f_min = 0
f_max = strike_price - low
european_put_objective = LinearAmplitudeFunction(
    num_uncertainty_qubits,
    slopes,
    offsets,
    domain=(low, high),
    image=(f_min, f_max),
    breakpoints=breakpoints,
    rescaling_factor=rescaling_factor,
)

# construct A operator for QAE for the payoff function by
# composing the uncertainty model and the objective
european_put = european_put_objective.compose(uncertainty_model, front=True)

# plot exact payoff function (evaluated on the grid of the uncertainty model)
x = uncertainty_model.values
y = np.maximum(0, strike_price - x)
plt.plot(x, y, 'ro-')
plt.grid()
plt.title('Payoff Function', size=15)
plt.xlabel('Spot Price', size=15)
plt.ylabel('Payoff', size=15)
plt.xticks(x, size=15, rotation=90)
plt.yticks(size=15)
plt.show()

# evaluate exact expected value (normalized to the [0, 1] interval)
exact_value = np.dot(uncertainty_model.probabilities, y)
exact_delta = -sum(uncertainty_model.probabilities[x <= strike_price])
print('exact expected value:\t%.4f' % exact_value)
print('exact delta value:   \t%.4f' % exact_delta)

exact expected value:   0.1709
exact delta value:      -0.8193

Evaluer le paiement attendu

# set target precision and confidence level
epsilon = 0.01
alpha = 0.05

# construct amplitude estimation
ae = IterativeAmplitudeEstimation(epsilon=epsilon, alpha=alpha,
                                  state_preparation=european_put,
                                  objective_qubits=[num_uncertainty_qubits],
                                  post_processing=european_put_objective.post_processing)

result = ae.run(quantum_instance=Aer.get_backend('qasm_simulator'), shots=100)

conf_int = np.array(result['confidence_interval'])
print('Exact value:        \t%.4f' % exact_value)
print('Estimated value:    \t%.4f' % (result['estimation']))
print('Confidence interval:\t[%.4f, %.4f]' % tuple(conf_int))

Exact value:            0.1709
Estimated value:        0.1801
Confidence interval:    [0.1742, 0.1860]

Évaluer le Delta

Le Delta est un peu plus simple à évaluer que la fonction de payement escomptée. De la même manière que les gains attendus, nous utilisons un circuit de comparateur et un qubit ancillaire pour identifier les cas où \(S_T \leq K\). Cependant, comme nous ne sommes intéressés que par la probabilité (négative) que cette condition soit vraie, nous pouvons directement utiliser ce qubit auxiliaire comme le qubit objectif dans l’estimation d’amplitude sans approximation supplémentaire.

# setup piecewise linear objective fcuntion
breakpoints = [low, strike_price]
slopes = [0, 0]
offsets = [1, 0]
f_min = 0
f_max = 1

european_put_delta_objective = LinearAmplitudeFunction(
    num_uncertainty_qubits,
    slopes,
    offsets,
    domain=(low, high),
    image=(f_min, f_max),
    breakpoints=breakpoints
)

# construct circuit factory for payoff function
european_put_delta = european_put_delta_objective.compose(uncertainty_model, front=True)

# set target precision and confidence level
epsilon = 0.01
alpha = 0.05

# construct amplitude estimation
ae_delta = IterativeAmplitudeEstimation(epsilon=epsilon, alpha=alpha,
                                        state_preparation=european_put_delta,
                                        objective_qubits=[num_uncertainty_qubits])

result_delta = ae_delta.run(quantum_instance=Aer.get_backend('qasm_simulator'), shots=100)

conf_int = -np.array(result_delta['confidence_interval'])[::-1]
print('Exact delta:    \t%.4f' % exact_delta)
print('Esimated value: \t%.4f' % -result_delta['estimation'])
print('Confidence interval: \t[%.4f, %.4f]' % tuple(conf_int))

Exact delta:            -0.8193
Esimated value:         -0.8180
Confidence interval:    [-0.8244, -0.8117]

import qiskit.tools.jupyter
%qiskit_version_table
%qiskit_copyright

Version Information

Qiskit Software	Version
Qiskit	None
Terra	0.16.0.dev0+28d8c6a
Aer	0.6.1
Ignis	0.5.0.dev0+470d8cc
Aqua	0.8.0.dev0+ce81016
IBM Q Provider	0.8.0
System information
Python	3.7.7 (default, May 6 2020, 04:59:01) [Clang 4.0.1 (tags/RELEASE_401/final)]
OS	Darwin
CPUs	2
Memory (Gb)	16.0
Fri Oct 16 10:45:35 2020 CEST

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